八下第9讲 菱形、正方形性质&判定重难点突破

例2：

如图，将矩形纸片ABCD(AD＞AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交菱形对角线，设折叠后点C、D的对应点分别为点G、H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F，AB＝3菱形对角线，BC＝9，

(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论，并求CE的最小值；

(2)当CE最长时，用尺规作图，作出四边形CEGF的位置，并求此时线段CE、EF的长．

分析：

(1)由四边形ABCD是矩形，根据折叠的性质，可知GE＝CE，由平行加角平分，可证得△EFG是等腰三角形，GE＝GF，则可证CE＝GF，从而可证四边形BGEF为平行四边形，再证其为菱形．而要求CE的最小值，则转化为求CF的最小值；

(2)要使CE取最大值，则CF取最大值，则点F要越靠近点A，GF与CE等长，则当点G与点A重合时，CE最大，此时，根据EF与CG互相垂直平分，作出CA的中垂线，即可作出四边形CEGF的位置．再设x，根据勾股定理建立方程即可解决．

解答：

(1)证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠1＝∠2，

由翻折知，∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，

∴GF＝GE，∴GE＝EC，

∴GF＝EC，又∵GF∥EC，

∴四边形CEGF为平行四边形，

∵GE＝GF，∴平行四边形CEGF为菱形；