高等数学(线性代数)

解:第一步:

第一列加上后面的各列得:

a+(n-1)b b b b ...b

a+(n-1)b a b b ...b

a+(n-1)b b a b ...b

a+(n-1)b b b b ...a

第二步:

后面各行减去第一行得:a+(n-1)b

a+(n-1)b b b b ...b

0 a-b 0 0 ...0

0 0 0 a-b 0 ...0

0 0 0 0 a-b..0

0 0 0 0 0....a-b

∴原式=[a+(n-1)b]*(n-1)(a-b)

  |a b b b b|。|a+4b b b b b|

|b a b b b|。|a+4b a b b b|

|b b a b b|=|a+4b b a b b| 把第2，3，4，5列，都加到第一列上。

|b b b a b|。|a+4b b b a b|

|b b b b a|。

  |a+4b b b b a|

'|1 b b b b|

。|1 a b b b|

=|1 b a b b|(a+4b) 从第一列提取公因式a+4b。

。|1 b b a b|

。|1 b b b a|

。|1 b b b b|

  |1 b 。。b 。。b。。。b。。|

。|0 a-b 0。。 0。。 0。。|

=|0 0 。 a-b 0。。。0。。|(a+4b) 用第一行去减第2、3、4、5行。

。|0 0 。。0。。。a-b。0。。|

。|0。0。。。0。。

  。0。。。a-b|

（主对角线以下的元素都是0）

=(a+4b)(a-b)^4。

以上仅对n=4的计算，对于任意自然数n完全可以一样的进行。得到

D=[a+(n-1)b]*(a-b)^(n-1)。